17 mars 2010
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Connue comme le problème de Syracuse,
Il s'agit de comprendre les raisons qui conduiront tout nombre de départ
à aboutir à un cycle numérique:
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que l'on précise dès maintenant comme devant être considéré en tant que cycle de puissances de 2 :
22 21 20
lorsqu'on soumettra,
lui et les nombres auxquels il donnera naissance,
à une règle :
- Si le nombre est pair : On divise par deux
- Si le nombre est impair : On effectue le calcul (3 x N ) + 1
et ainsi de suite...
- Il est évident qu'afin de parvenir au cycle final, il est nécessaire de passer par une puissance de 2.
Mais on peut déjà constater que toutes les puissances de 2 ne peuvent être des points d'entrée par le processus
(3N+1) avec (N) impair.
Seuls les impairs répondants à la Suite U(n+1) = Un + 2 (2n+2)
avec Uo = 1
peuvent donner de telles puissances.
Nous allons créer une table de multiplication : Des puissances de 2, verticalement disposées, par les nombres impairs horizontalement disposés.
0 1 2 3 4 5 ....rang des impairs = (IMP - 1 ) / 2
(2^0= 1) 3 5 7 9 11 ... les impairs
2 6 10 14 18 22 ...
4 12 20 28 36 44 ...
8 24 40 56 72 88 ...
16 .. .. . ...
î_ les 2x
Les raisonnements prendront en compte les lignes et colonnes du tableau.
-I) Tous les nombres pairs d'une même ligne sont CONGRUS à 2x MODULO[ 2 (x+1) ]
-II) Les pairs d'une même colonne peuvent être réduits, modulo une puissance de 2, à un nombre impair sommet de la colonne.
-III) Toutes les puissances de 2 conduisent par divisions successives par deux au cycle de syracuse 421.
-IV) Selon syracuse les impairs créent des valeurs paires.
Démontrer l'existence du cycle pour tout nombre équivaudra à montrer que le processus "3X+1" tend inéluctablement vers une puissance de 2.
La multiplication au sein du tableau, finit par atteindre la colonne de ces puissances.
Selon "3X+1" :
La multiplication d'un IMPAIR de rang pair renvoit à gauche dans le tableau.
On passe d'un rang (r)
à (r') = (3r+2) / (2x) - 1/2
Pour un rang impair qui renvoit à droite : (r') = (3r+1)/2
On peut écrire :
Npair = ( 3 x IMPAIR + 1 ) CONGRU à 2 x Modulo [ 2 (x+1) ]
Pour tout nombre impair (N') = N + z . 2x
N' CONGRU à N modulo [ 2 (x+1) ]
3 . N' + 1 = 3 . N + 3 . k . 2 (x+1) + 1
Ce qui équivaut à dire que :
3 . N' + 1 est CONGRU à ( 3 . N + 1 ) modulo [ 2 (x+1) ]
OR,
3 . N + 1 = pair CONGRU à 2 x modulo [ 2 (x+1) ]
DONC : 3 . N + 1 => 2 x Les restes sont EQUIVALENTS.
C'est à dire que le processus numérique au sein de Syracuse "3X+1"
tend vers la création d'une puissance de 2.
FRANCILLETTE thierry jules
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15 mars 2010
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12:50
Soit (n 2 + 1 ) = un nombre premier (p)
Les premières valeurs de (n) = { 1,2,4,6,10,14,16,20,24,26,36,40,54,...}
De manière expérimentale, si on appelle (i) l'indice qualifiant le (i-ème) nombre (n)
on peut remarquer en ayant un peu de nez ( probablement équivalent à un inverseur naturel...)
que [ i 2 - ( i 2 - i ) / 2 ) / 2 ] ± une variation => tend vers (n).
On peut affiner le résultat en utilisant :
[ ( x 2 - x . ( x + Ln(x) ) / 2 ) / Ln( x - (Ln(x))^2 ) ] 2 + 1 => (P)
Si on n'obtient pas un résultat exact, on peut constater qu'il existe une proximité avec une solution
qui sera atteinte en précisant la valeur de la partie entière.
Une autre approximation donne :
[ ( Ln(x))^(1,8) . ( x 2 - x . ( x + Ln(x)) / 2 ) / ( x 1/2 . Ln( x 2 - (Ln(x)) 2) ) ] 2 + 1 => (P)
A partir de ces résultats on peut espérer aboutir un jour à un algorithme proche de la vérité.
FRANCILLETTE thierry jules
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15 mars 2010
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11:32
La racine carré peut être vue comme le module d'un nombre complexe (a + b.i) ayant (a) et (b)
respectivement comme partie réelle et partie imaginaire.
Ce complexe étant solution d'une équation du second degré :
X^2 + X + N = 0
ayant un discriminant de type "b^2 - 4ac" négatif.
On peut écrire sous une forme générale, la solution complexe :
xsol1 = ( - 1/2 ) + i . ( ( 4 / w ) ^( -1/2 ) )
avec (w) = ( 4 . N - 1 )
Le module de ce complexe ( a^2 + b^2 )^(1/2) correspondant à la racine carrée de (N) :
N^(1/2)
Une telle vision peut permettre de contourner la gêne créée par l'existence
de valeurs irrationnelles qui pourraient correspondre à la norme d'un vecteur auquel donnerait
naissance le nombre complexe.
Si le vecteur existe, on ne peut mettre en doute ses dimensions...
- Une formule permettant de généraliser l'extraction de racines :
X ^(2n) - X ^n - ( A ^2 - A ) = 0 ayant pour solution : X = A ^( 1 / n )
- On remarquera que le polynôme ( X^2 + X )
correspond au calcul de la somme des nombres pairs successifs si l'on considère
la valeur (X) comme l'indice correspondant à la place du plus grand pair atteint au sein
d'une numérotation où (2) est le premier.
En partant de l'écriture ( i^2 + i ),
La somme des nombres pairs jusqu'au 5-ième, c'est à dire Dix
sera :
5^2 + 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
- Nous retrouverons ce calcul ultérieurement, lorsqu'il s'agira d'étudier
les résidus quadratiques d'un nombre (N) composé et notamment produit de deux nombres
premiers.
- Autre remarque, peu pratique au niveau calculabilité, mais intéressante:
Un nombre impair est un carré si
N ^ ( N / 2 ) est divisible par (N)
(toujours vrai pour les nombres pairs)
Cela peut facilement être vérifié en écrivant (N) :
( N ^ ( N / 2 ) ) / N = N ^ ( (N - 2) / 2 ) = N ^(1/2) . N ^ ( (N- 3)/2) )
Si (N) impair, n'est pas un carré, on n'obtiendra pas une valeur entière.
FRANCILLETTE thierry jules
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11 mars 2010
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13:03
Au mois de Décembre 2005,
mes premières recherches me conduisirent à mettre en évidence des Suites lorsque
l'on souhaitait étudier la multiplication et donc la factorisation.
Ces Suites m'apparaissaient si importantes, qu'elles furent, plusieurs années ma vitrine
de présentation lorsque j'esssayais d'établir des contacts avec le monde des personnalités
des mathématiques.
Il est clair qu'en les contactant je ne dévoilais pas tout ce que je percevais de ces calculs.
Peut-être ai-je susciter des moqueries du fait que bien qu'originales, ces Suites ne permettaient
pas de résoudre rapidement le problème de la factorisation.
Elles étaient une manière d'exprimer le fait que l'intimité numérique du produit de deux nombres
premiers influencaient le niveau de difficulté de la factorisation en fonction de la congruence
de chacun des facteurs Modulo le nombre Six.
P = 1 [ 6 ] (u)
et P = -1 [ 6 ] (v)
Ce qui donnait des nombres de 4 types :
Na = v1 . v2
Nd = u1 . u2
Nb = u1 . v2
Nc = v1 . u2
Je créais des valeurs que je nommais (R) ="Altheyrs" comme une altération de (N)
avec (R)pair = ( N - 1) / 3 ou (R) impair = ( N -2 ) / 3
J'obtenais R = A + k .B pour les différents types de (N)
Ra = ( 8 +10n ) + k . ( 10 + 12n )
Rd = ( 16 + 14n ) + k . ( 14 + 12n )
Rb = ( 11 + 14n ) + k . (10 + 12n )
Rc = ( 11 +10n ) + k . (14 + 12n )
Résultats obtenus après avoir listés les (R) pour lesquels on n'obtenait pas de nombres
premiers et les avoir liés par l'observation de récurrences.
Un nombre premier ne vérifiait pas l'une de ces équations avant une valeur égale à
( N - 5 ) / 6 ou ( N - 7 ) / 6
ce qui n'était pas le cas pour les nombres composés qui en vérifiaient une en fonction
du type de facteurs composant le produit.
Pour (N) = X1 . X2 et X2 = 6 . t + 1 ou X2 = 6 . t - 1
une des Suites "cassait" pour : n = t - 1
Ces calculs auraient peut-être été pris au sérieux si j'avais dès le départ précisé ce que
j'y voyais.
En effet, il ne s'agissasit, selon moi, que du sommet de l'iceberg,
puisque, visant une efficacité calculatoire, mes calculs m'avaient conduit à exprimer
la valeur (t) en tant qu'une partition plus facile à encadrer, même par un processus aléatoire,
prenant en compte d'autres travaux me laissant penser que l'on pouvait établir des bornes ou
intervalles de recherche.
En écrivant (t) = ( w + z )
il me paraissait clair, depouvoir restreindre la dimension de la recherche numérique devant aboutir
à cette valeur.
Puisque avec R = A + k . B
il était possible d'écrire (A) et (B) en fonction de (w) et (z).
Ainsi je finis par obtenir :
(...ce fut laborieux et 2 des 4 expressions furent trouvées par simple de signes)
Ra = 2 . ( 6. z 2 + z . ( 6. w - 2 ) - w ) + 2 . k . ( 6 . z - 1 + 6 . w )
Rd = 2 . ( 6 . z 2 + z . ( 6 . w + 2 ) + w ) + 2 . k . ( 6 . z + 1 + 6 . w )
Rb = 1 + 2 . ( 6 . z 2 + 6 . w . z + w - 1 ) + 2 . k . ( 6 . z - 1 + 6 . w )
Rc = 1 + 2 . ( 6 . z 2 + 6 . w . z - w - 1 ) + 2 . k . ( 6 . z + 1 + 6 . w )
Il est alors possible de fixer (w) ou (z) au hasard ou en fonction de calculs annexes
et de prédire les restes.
FRANCILLETTE thierry jules
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11 mars 2010
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12:00
Un des derniers problèmes antiques sans solutions précises et liés aux courbes elliptiques.
Trouver les côtés rationnels d'un triangle rectangle ayant pour aire (N')
Je propose de déterminer ces valeurs rationnelles grâce à un algorithme utilisant
l'équation du second degré comme moyen de factorisation sur la base de :
X 2 - S . X + N = 0
avec N = X1 . X2 et S = X1 + X2
tel que l'on scrute (S) à partir d'une valeur minimum : Smin = 2 . [ N 1/2 ] + 2
Nous recherchons de virtuels "X1" et " X2" permettant d'écrire :
N = 2 . N' . k 2 = "X1" . "X2" étape 1
Partant des valeurs entières des racines ontenues,
On diminue la valeur de "X2" par unité en cherchant : étape2
( ( 2. N'. k 2 ) / (X2) ) 2 + (X2) 2 = Un carré entier parfait
Si c'est le cas on affiche le résultat étape3
(N') est un nombre congruent, Aire d'un triangle rectangle ayant
pour côtés rationnels :
( X2 ) / k (A)
( ( 2.N'.k 2 ) / (X2) ) / k (B)
( ( A 2 + b 2 )^(1/2) ) / k (C)
Si ce n'est pas le cas on continue à décrémenter "X2"
Et si l'étape(3) ne se produit pas avant (X2) = 2,
alors on change de (k) : k + 1 => k
Puis, on retourne à l'étape(1) pour une nouvelle factorisation de départ selon
le principe de création d'une valeur (Smin).
Un tel algorithme n'établit pas au départ s'il existe une solution;
Il dit que si (k) existe, il le trouvera. Etant entendu que le calculateur électronique
est suffisamment rapide.
On sait que (k) peut être très grand.
On touche ici le problème de la calculabilité. Et il est clair que l'on préfèrerait
savoir dès le départ s'il existe une solution et ne pas chercher pour rien.
Pour ma part, malgré le fait qu'il ait été établi que certains nombres ne soient pas
des nombres congruents du fait qu'ils ne vérifient pas certaines confruences,
je préfère imaginer que ces exceptions correspondent à une classe de nombres
donnant naissance à des valeurs gigantesques de (k) qui, inaccessibles, laissent
penser qu'elles n'existent pas.
La conjecture de Birch-Swinertton-Dyer
qui touche aux courbes elliptiques en touchant du même coup les nombres
congruents, cherche à établir un critère qui permettrait de savoir à l'avance
la situation dans laquelle on se trouve.
Selon mes premières réflexions,
j'estime qu'un nombre est de nature elliptique s'il peut s'écrire sous une certaine
forme :
Différence ou somme de multiples rationnels de cubes.
N' = a 3 . (L / k x ) - b 3 . ( L' / k x ) congru à ( x y ) - {1,2,3} modulo [ x y ]
Concernant les nombres congruents, on peut remarquer en
partant d'une remarque faite par Fibonacci :
(2p) . (2q ) . ( (2p) 2 - (2q) 2 ) = un multiple de 24 = 24 . n
on peut écrire :
2 . N' . k 2 = 3 . n = 2 . p . q . ( p 2 - q 2 )
on cherche alors
des (n)i = (n)0 + B . U + A . W
avec :
(n)0 = 6 .N'
(k)0 = 3
W = 12 . N'
U = 3 . W / 2 = 18 . N'
Lorsque l'indice (i) est pair............B = 2 et A = ( i 2 + 2 . i - 6 ) / 2
Lorsque l'indice (i) est impair.........B = 1 et A = ( i + 1 ) 2 / 2 - 2
FRANCILLETTE thierry jules
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10 mars 2010
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13:26
L'algorithme
que nous allons poser sans rentrer dans le détail de sa naissance,
(liée à une étude que j'ai effectuée sur les nombres premiers jumeaux)
pourra être appliqué à chaque sous multiplication et notamment
à l'élévation au carré.
Soit N:
nombre impair composé de deux facteurs X1 et X2, impairs
N = X1 . X2 = Un = 4.n 2 + t .( n . ( 8 + 4.q ) ) + 2.q + 3
X1 = 2. n1 - 1
X2 = 2. n2 + 1
t = +1 si n = n2
t = -1 si n = n1
avec le Delta noir = DN = X1 - X2 = 2 . q + 2
une variable rencontrée en définissant l'équation du second degré:
X 2 + DN . X - N = 0 (a)
à l'image de X 2 - S . X + N = 0
avec S = X1 + X2
Il faut noter que lorsque (a) = Y 2 / X on obtient :
la forme simplifiée ( Y 2 / X =0 et n = 1) de l'équation de Frey
l'elliptique
Y 2 / X = X 2 + ( X n - Y n ) . X - (XY) n (b)
intervenant dans la démonstration du Grand théorème de Fermat
par Wiles.
Il a, en effet fallut montrer que (b) n'était pas "viable"
c'est à dire qu'elle n'était pas modulaire.
Démontrer par Ken Ribet.
On peut tout de même se demander si le cas particulier (a) ne redonne pas
vie à l'équation de Frey.
Certes, elle n'est plus elliptique,
Mais un angle de reflexion me laisse penser que sous le zéro de (a)
se cache une forme canonique synthèse d'un ensemble de courbes cachées;
ce qui la rendrait viable...
Je dois sûrement avoir tort, sinon cela équivaudrait à porter atteinte
à la démonstration de Wiles.
FRANCILLETTE thierry jules
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10 mars 2010
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12:58
Au cours de mes différents calculs, l'un des exercices qui revient le plus souvent consiste à réduire une suite de nombres à un algorithme capable de les générer successivement.
J'ai ouvert de nombreux livres mes aucun ne mentionne
(cela reste vrai pour tous mes calculs qui visent souvent l'innovation...à défaut d'avoir des calculateurs puissants, je pense que l'on doit s'évertuer à améliorer les algorithmes)
les résultats suivants, par ailleurs assez facile à établir :
Si la somme, pour toute parité des puissances de 2, est un calcul connu ou qui peut se déduire d'autres résultats:
x
∑ ( 2 n ) = 2 ( x + 1 ) - 2
n=1
Il m'a fallut établir les suivantes:
Pour les puissances exclusivement paires (xp):
xp
∑ ( 2 n ) = 2 . ( 2 ( xp + 1 ) - 2 ) / 3
n=2
Pour les puissances exclusivement impaires (ximp):
ximp
∑ ( 2 n ) = 2 . ( 2 ( ximp + 1) - 1 ) / 3
n=1
On peut en déduire une écriture des nombres de Mersenne: Mp = 2 p - 1
en utilisant la valeur
R = (Mp -1 ) / 3 = (2 p - 2 ) / 3 = 2 . ( 2 ( ( p - 2 ) + 1 ) - 1 ) / 3
et donc p-2
Mp = 3 . ( ∑ 2 n ) + 1
n=1 ...............exclusivement impairs
de même une écriture des puissance de 2, peut être déduite en fonction de la somme.
FRANCILLETTE thierry jules
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10 mars 2010
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12:02
Calculer la longueur d'une ellipse est un problème difficile lorsqu'il s'agit d'obtenir des dimensions exactes.
Ce calcul nécessite une intégration compliquée devant être ajustée par des sommations.
Je propose de simplifier le calcul en utilisant l' intégrale d'un cercle que j'appelle primaire à l'éllipse.
En effet ,
il apparait clairement qu'une ellipse semble se loger de manière tangantielle, de part et d'autre de sa petite longueur dans l'intersection de deux cercles de même diamiètre. L'ellipse est symétrique par rapport à sa grande longueur.
Ce cercle est le générateur de l'éllipse par un successions de constructions géométriques qui équivalent à des opérations algébriques. Elles ne seront pas établies ici et je me contenterais de donner le résultat final :
Au lieu d'intégrer (A) : ( 1 + y' ) 1/2 liée à l'équation de l'ellipse :
(x/a) 2 + (y/b) 2 =1
avec y = ( ( (ab) 2 - (xb) 2 ) 1/2 ) / 2
et donc une dérivée qui n'est pas commode : y' = ( - x.(b) 2 ) / ( a. ( (ab) 2 - (xb) 2 ) 1/2 )
Nous alons intégrer (A) liée au cercle primaire créant l'intersection au sein de laquelle se loge l'ellipse.
Pour ce cercle de rayon (R), la dérivée (y') sera simplifiée:
y' = x / ( R 2 - x 2 ) 1/2
Nous établissons des variables "primaires" nécessaires au calcul et liées à (a) et (b), respectivement les demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse:
b = R . ( 29 1/2 - 3 ) / 3
a = R . ( 2 . 29 1/2 - 5) / 6
T = a = L + Z = L + q + z / 4
L = R . 29 1/2 / 6
Z = R . (29 1/2 - 5 ) / 6
q = 3 . Z / 4
l' INTEGRATION de (A) se fera de 0 à T = a : équivaut au calcul du quart de la dimension cherchée
Puis la valeur sera précisée dans un premier temps en l'additionnant à :
L / 10 - L / 10000
Mais au final la précision devient meilleur en ajoutant au résultat de l'intégration :
inf
L / 10 - ∑ ( ( L - Z ) . 10 ( - n ) )
n>3
La dimension totale de l'ellipse sera obtenue en multipliant par quatre.
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6 mars 2010
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11:28
Euler à estimer la somme de l'inverse du carré des entiers successifs comme comme convergeant vers un rapport impliquant le nombre Pi; le sixième de son carré.
inf
∑ ( n ( - 2 ) ) => (Pi 2) / 6
1
Nous allons établir un rapport de même nature pour les puissance supérieures à 2, en écrivant :
inf
∑ ( n ( - alpha ) ) => ( Pi xsol ) / ( 2 ( alpha + 1 ) - alpha )
1
Dans le cas d'Euler, alpha est égal à deux;
De manière expérimental, en faisant varier (alpha) et en exprimant (xsol) comme un rapport de logaritmes pour des valeurs de sommes d'inverses pré-calculées,
on observe que l'écart:
(alpha) - (xsol) => (xsol) 2 / 10
Ce qui nous permet d'approximer (xsol) en tant que racine positive de l'équation du IInd degré:
x 2 + 10.x - 10.(alpha) = 0
avec: (xsol) = ( 5.(2.alpha+5) ) 1/2 - 5
Pour (alpha) variant de 3 à 7, on obtient une bonne approximation de la somme des inverses.
Puis, au delà, une divergence vers zéro se produit.
Mais en observant les variations de l'écart qui se produit, on peut établir un algorithme:
∑ - estimation( ∑ ) = ( ∑(n ( - 7 )) - Estimation( ∑(n ( - 7 )) ) + ( z . 11/100)
avec :
z = alpha - m
et
(m) environ égal à 7, jusqu'à (alpha) =11
puis,
notamment dès que (alpha) est supérieur à 39 et tend vers de grandes valeurs:
(m) = alpha - 9 + constante
constante = 0.71455697...
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