Retournons aux Suites PJBOADL

 Au mois de Décembre 2005,

mes premières recherches me conduisirent à mettre en évidence des Suites lorsque
l'on souhaitait étudier la multiplication et donc la factorisation.

Ces Suites m'apparaissaient si importantes, qu'elles furent, plusieurs années ma vitrine
de présentation lorsque j'esssayais d'établir des contacts avec le monde des personnalités
des mathématiques.
Il est clair qu'en les contactant je ne dévoilais pas tout ce que je percevais de ces calculs.
Peut-être ai-je susciter des moqueries du fait que bien qu'originales, ces Suites ne permettaient
pas de résoudre rapidement le problème de la factorisation.

Elles étaient une manière d'exprimer le fait que l'intimité numérique du produit de deux nombres
premiers influencaient le niveau de difficulté de la factorisation en fonction de la congruence
de chacun des facteurs Modulo le nombre Six.
                                                                                       P  =  1  [ 6 ]    (u)
                                                                           et         P  = -1 [ 6 ]     (v)
Ce qui donnait des nombres de 4 types :

                Na  = v1 . v2
                Nd  = u1 . u2
                Nb  = u1 . v2
                Nc  = v1 . u2       
Je créais des valeurs que je nommais (R) ="Altheyrs" comme une altération de (N)
avec  (R)pair  =  ( N - 1) / 3    ou   (R) impair  =  ( N -2 ) / 3

J'obtenais  R  =  A  +  k .B   pour les différents types de (N)

           Ra  =  ( 8 +10n )  + k . ( 10 + 12n )
           Rd  =  ( 16 + 14n )  +  k . ( 14 + 12n )
           Rb  =  ( 11 + 14n )  +  k . (10  + 12n )
           Rc  =  (  11  +10n )  +  k . (14  + 12n )
Résultats obtenus après avoir listés les (R) pour lesquels on n'obtenait pas de nombres
premiers et les avoir liés par l'observation de récurrences.

Un nombre premier ne vérifiait pas l'une de ces équations avant une valeur égale à
         ( N - 5 ) / 6   ou  ( N - 7 ) / 6
ce qui n'était pas le cas pour les nombres composés qui en vérifiaient une en fonction
du type de facteurs composant le produit.
   Pour  (N)  =  X1 . X2        et   X2  =  6 . t  + 1    ou  X2 =  6 . t  - 1

une des Suites "cassait"  pour :        n  =  t  - 1

Ces calculs auraient peut-être été pris au sérieux si j'avais dès le départ précisé ce que 
j'y voyais.
    En effet, il ne s'agissasit, selon moi, que du sommet de l'iceberg,
puisque, visant  une efficacité calculatoire, mes calculs m'avaient conduit à exprimer
la valeur  (t) en tant qu'une partition plus facile à encadrer, même par un processus aléatoire,
prenant en compte d'autres travaux me laissant penser que l'on pouvait établir des bornes ou
intervalles de recherche.

    En écrivant  (t)  = ( w  +  z )

il me paraissait clair, depouvoir restreindre la dimension de la recherche  numérique devant aboutir
à cette valeur.
                         Puisque  avec   R   =  A   +  k . B

il était possible d'écrire (A) et (B) en fonction de (w) et (z).

Ainsi je finis par obtenir :
(...ce fut laborieux et 2 des 4 expressions furent trouvées par simple de signes)

        Ra  =  2 . ( 6. z ²  +  z . ( 6. w - 2 )  -  w )  +  2 . k . ( 6 . z   -  1  +  6 . w )

        Rd  =  2 . ( 6 . z ²  +  z . ( 6 . w + 2 ) + w )  +  2 . k . ( 6 . z  +  1  +  6 . w )
  
        Rb  =  1 +  2 . ( 6 . z ² + 6 . w . z  + w  - 1 )  + 2 . k . ( 6 . z  -  1 +  6 . w )
   
        Rc  =   1  +  2 . ( 6 . z ²  + 6 . w . z  -  w  - 1 )  +  2 . k . ( 6 . z  +  1 +  6 . w )

Il est alors possible de fixer (w) ou (z) au hasard ou en fonction de calculs annexes
et de prédire les restes.

                                                           FRANCILLETTE thierry jules