Conjecture de BEAL vs FERMAT

   Après avoir soumis sans succès cette article à deux revues de mathématiques, une anglo-saxonne et l'autre française, j'ai opté pour l'affichage sur ce Blog de mon raisonnement concernant la Conjecture de Beal. Le faire a toujours été ma première idée en considérant que si j'avais raison, seule comptait la vérité mathématique. Mais j'ai tout de même voulu tenter ma chance à l'édition afin de remplir un des critères nécessaires pour prétendre à la récompense lié à cette conjecture. En l'occurrence être publié dans un journal à comité de lecture.

   Je ne suis pas un professionnel des mathématiques mais j'ai mené quelques réflexions que j'ai tenté d'exprimer avec le plus de formalisme possible et surtout en considérant que la logique de mes propos pouvait transcender les normes si tant est qu'elle soit aussi exacte que je peux le penser. Mais il m'a été rétorqué que l'article de collait pas aux règles d'écriture édictées par Bourbaki et qu'un texte devait contenir une suite de théorèmes, lemmes ou propositions qui contiennent une hypothèse et une conclusion. Chose que je pensais pourtant avoir fait avec les trois propositions contenues dans l'article (ou tentative...) qui analysaient selon trois axes l'énoncé de la conjecture alors transformé par des changements de variables issus de la conjecture elle même mais en établissant un classement des exposants de puissance selon une taille supposée créant une proportionnalité de leurs valeurs. Chose que rien n'interdisait puisque n'ont pas été imposées de conditions sur celle-ci à part le fait que les trois exposants de départ sont supposés être des entiers supérieurs à deux . En remarquant également que l'on raisonne dans un cadre diophantien c'est à dire avec des entiers.

Chaque proposition aboutissait après une réécriture de l'équation de départ (Celle de Beal avec des exposants différents) et cela en rejoignant la forme de l'équation liée au dernier Théorème de Fermat (Th Fermat-Wiles,) de par la réduction à un même exposant  pour les termes de l'équation nouvelle et conservés au nombre de trois. Le but étant de montrer que l'on ne contrariait pas le Théorème de Fermat en n'obtenant pas que des termes entiers sous des exposants de puissance censés être supérieurs à deux ce qu'interdisait le dit théorème. Je concluais donc les proposition 1 et 2 dans ce sens. Une hypothèse par rapport aux exposants et une conclusion...

Mais il en alla autrement pour la proposition 3 qui a abouti à une structure, l'équation (3c), où les trois termes montraient une structure correspondant à des entiers sous une même puissance z >2 en contradiction avec le Théorème de Fermat en sachant par ailleurs que la Conjecture de Beal est considérée comme une généralisation de ce théorème. Or, les critiques ont stipulé que l'auteur semblait se demander dans quelle mesure la Conjecture de Beal pouvait prendre en défaut le Théorème de Fermat et qu'il n'était pas intéressant de se poser cette question... Sur un réseau social j'aurais mis un "LOL" en gras, tant cette interrogation m'apparaissait pertinente du fait de la généralisation  invoquée qui n'est pas de moi et semble être admise par la communauté d'une part et d'autre part ,en avançant dans mes calculs à l'issue de chaque changement de variable, je ne pouvais prévoir le type d'équations auquel j'allais aboutir et notamment la troisième qui ne pouvait qu'intriguer en créant un cas de figure "original" dont j'allais discuter les conséquences en essayant, en vain, de sauver le Dernier Théorème de Fermat déjà admis en Théorème Fermat-Wiles.

   On m'a également fait remarquer que le texte ne contenait aucun résultat mathématique original, alors même que je pensais avoir atteint un stade original avec la proposition 3 et la formule en (3c) qui à mon sens devait clairement poser question...

On a qualifié ma réflexion de "spéculations" ne pouvant être publiées dans un journal de mathématiques. Celles-ci, je cite, devant se cristalliser en des énoncés mathématiques précis. D'une part mes équations sont exactes à travers des transformations algébriques qui font le raisonnement et d'autres part j'ignorais qu'un mathématicien savait d'emblée où le menait une réflexion lorsqu'il entreprenait notamment de résoudre un problème jusque là sans solutions. Ne devait-il pas émettre des hypothèses et donc "spéculer" sur les voies selon lesquelles il allait tenter d'analyser le problème? Moi, j'ai "spéculé" sur la relation de proportionnalité entre les exposants de puissance et cela en couvrant, à mon sens, tous les cas de figures avec:

x<y<z,  x<z<y et z<x<y sachant l'ordre entre x et y n'est qu'une question d'écriture entre exposants de termes situés du même côté de l'égalité qui définit l'équation de départ et que les cas triviaux d'égalité de puissance ne créeraient pas plus de complexité que les trois proportions développées donc en trois propositions (Lemmes?...) 

Cet article de la part d'un indépendant, non professionnel, ne pouvait à coup sûr coller à toutes les règles académiques mais y-a-t-il donc rien dans cet axe de réflexion qui aurait mérité une remarque positive alors même que bien que n'étant pas au courant de tout ce qui a pu être publié sur le sujet, je reste convaincu que l'idée d'exposants proportionnels n'avait pas encore été traitée et sûrement pas de cette manière car il me semble que si la troisième proposition n'avait pas posé de problèmes et avait connu la même issue que les deux premières, l'article aurait pu même être une manière "simple" et algébrique de démontrer le Dernier théorème de Fermat en montrant qu'en partant de la Conjecture de Beal censée être sa généralisation, on n'aboutissait jamais après transformation à une équation faite que de termes entiers sous une puissance supérieure à deux...

   Je vous laisse juge du raisonnement que j'ai mené durant le mois d'Octobre 2018 en faisant remarquer que j'avais traité la première proposition quatre ans auparavant en allant dans le sens du Théorème de Fermat-Wiles puisque j'avais alors supposé que tout se passerait favorablement dans ce même sens si j'analysais d'autres angles de calculs et cela en accordant du crédit à la démonstration du Th de Fermat par Wiles(1995). Et laissa donc de côté mes raisonnements.

   Merci de votre attention et de l'intérêt que vous avez pu accorder à mon travail.

Si vous êtes mathématiciens ou êtes intéressés par les mathématiques, peut-être vous inspirerais-je quelque axe de réflexion ou améliorations.

Comments

[@thefranj TWITTER]

Révision de mon article relatif à la Conjecture de Beal.

En complément de l’affichage sur matreadel.Over-blog :
Article « Conjecture de Beal VS Fermat » contenant une saisie d’images du document relatif à la démonstration titrée: « Structure algébrique d’un éventuel contre exemple de la Conjecture de Beal » qui devrait être corrigé en "Structure pour un contre exemple du Grand Fermat"…


Cela faisait longtemps que je n'avais pas relu mon article et hier 1er Avril 2020 je l'ai fait! Et cela en finissant encore plus convaincu d'avoir raison même si j'ai réalisé qu'une reformulation de l'analyse et des conséquences de la troisième proposition pourrait avoir un impact positif si le raisonnement qui en découle affichait une logique implacable en acceptant par ailleurs les deux premières propositions comme exactes et cela d'autant plus qu'elles ne posent pas de problème au Grand Fermat.
J'ai déjà, à mon sens, émis tous les éléments du raisonnement à tenir mais la nécessité de les ré-agencer m'apparaît de plus en plus claire et cela d'autant plus si la logique, notamment grammaticale, de la langue française parvient à faire percevoir un enchaînement susceptible d'être qualifié d'algorithmique...

J'ai choisi d'analyser, sous l'angle de la proportionnalité de ses coefficients, la Conjecture de Beal :
A^x+B^y=C^z censée être exacte avec x,y et z >2 ssi A,B et C ont un facteur commun qui est un nombre premier.
Elle est considérée comme une généralisation et une conséquence du Grand Fermat ne permettant pas à A,B et C d'être tous les trois entiers lorsque x=y=z>2 et cela dans un cadre Diophantien c'est à dire avec des nombres tous entiers..

Sur trois classements résumant les proportions possibles en dehors des cas avec égalité des coefficients qui simplifieraient le problème,
seul le troisième avec z z
Sachant A=W.a, B=W.b et C=W.c avec W le facteur commun nécessairement un nombre premier (dont 2 seule valeur paire) et cela dans un cadre Diophantien où les nombres sont des entiers et comme au sein des proportions x=m.z et y=m'.z avec m
( W^α . a^m )^z + ( W^β . b^m' )^z = c^z

Obtenue par des changements de variables logiquement établis à partir des conditions de départ et ayant donné lieu à des transformations algébriques appliqués à l'équation A^x + B^y = C^z dont elle est au final une autre forme d'écriture ayant ramenés les termes à une élévation de puissance.

Vu que z≥3 de par le Conjecture de BEAL et que le Grand FERMAT ne permettrait pas alors que les deux premiers termes à la puissance z soient tous les deux entiers en même temps que c sous cette même puissance supérieure à 2, on va devoir établir les conditions dans lesquelles cela se vérifie et se demander si elles sont toujours vraies...

Pour aller dans le sens du Grand FERMAT il est clair que (W^α . a^m) et/ou (W^β . b^m') doivent(/doit) être rationnels non entiers c'est à dire qu'au moins un des deux soit une fraction irréductible.

Cela ne peut être vrai que si c est un nombre pair c'est à dire divisible par une puissance 2^n avec n entier supérieur ou égal à 1 pendant que a et b ne peuvent être que des nombres impairs puisque deux à deux premiers entre eux, Gcd(a,b,c)=1.
W ne pouvant alors être qu'un nombre pair capable de permettre une division des termes dans l'espoir de créer au moins une fraction irréductible évitant que n'existent que des entiers sous une même puissance.
Or W est un nombre premier et ne peut donc être qu'égal à 2...

De sorte que l'on puisse écrire: W^(α - n) et/ou W^(β - n) en tant que puissances de 2 dont les exposants vont devoir être négatifs afin de créer des rationnels.
Ceci ne sera donc vérifié que si n>α et/ou n>β.
Et vu que α=m-1 et β=m'-1, on aura m
Cette nécessité pourra également être assurée en discutant l'aspect rationnel de 2^(m-n) et/ou 2^(m'-n) si on considérait W comme étant un nombre premier exclusivement impairs nécessitant alors que Gcd(a,b,c)=1 ne soit plus vérifié et qu'au moins Gcd(a,c) ou Gcd(b,c) soit au moins égal à une puissance de deux, 2^n.

Mais si les conditions d'existence des fractions irréductibles ne sont pas vérifiées on doit considérer l'équation, ( W^α . a^m )^z + ( W^β . b^m' )^z = c^z, comme étant susceptible de générer trois valeurs entières élevées à une même puissance et cela en contredisant le Grand FERMAT qui plus est sans que soit garanti que les termes sous la même puissance z soient deux à deux premiers entre eux.

À ce stade, rien n'empêche à une combinaison des différentes variables d'exister en vérifiant que trois termes élevés à une même puissance supérieure à 2 puissent établir une équation d'égalité les reliant sans que soit vérifiées les conditions émises par la Conjecture de Beal qui aurait pu rétablir la donne si était toujours vérifié le fait que le nombre c (>1) ait toujours un facteur commun avec les deux autres termes sous puissance z.

On comprend par ailleurs que si à l’inverse on considérait le Grand FERMAT comme exacte et démontré par Andrew Wiles c’est que le nombre c aurait au moins nécessairement un facteur en commun avec soit w, soit a, soit b et cela en donnant naissance à au moins une fraction irréductible sous la puissance z.

Or l’équation ( W^α . a^m )^z + ( W^β . b^m' )^z = c^z ne le promet en rien !



TFJ

Le 2 Avril 2020.

[@thefranj TWITTER]

L'idée c'est d'établir que Si les conditions d'exclusions relatives au Grand FERMAT

(c'est à dire ici que pour une puissance z commune et supérieure à 2, les trois termes ne peuvent être entiers en étant 2 à 2 premier entre eux)

ne sont pas respectées
(Et donc que rien n'empêche qu'ils puissent être entier sans être obligatoirement 2 à 2 premier entre eux sous cette puissance >2...)

dans une équation de type "Grand Fermat" atteinte par une transformation de l'équation de départ relative à la Conjecture de Beal et établie dans un cas particulier de celle-ci où z2,

Alors les conditions de la Conjecture de Beal ne sont pas non plus respectées dans un équation de type "BEAL" MAIS dont les puissances seraient égales en z et que en l'occurrence on n'aurait pas nécessairement un facteur commun partagé par les trois termes comme le demande cette conjecture...
Constater donc que rien n'oblige la valeur c a avoir un facteur commun avec les deux autres termes sous puissance z c'est empêcher l'apparition d'au moins une fraction irréductible qui donnerait raison au Grand FERMAT en montrant que tous les termes ne peuvent être entiers sous une puissance supérieure à 2 comme l'est z.

La confusion peut s'établir si on oublie qu'alors qu'on raisonne les conditions liées au Grand Fermat sur une équation atteinte en partant de "BEAL" avec une même puissance on n'en reste pas moins dans une équation liée à la Conjecture de Beal et qui demande également que ses conditions soient respectées...

TFJ

Le 2 Avril 2020

Rq: IInd complément.