X-ème d' HILBERT et Moi

Soit un Polynôme quelconque réduit à :

             Σ ( α_i . xⁱ )  +  a . x² + b . x  + f = 0             (A)

Dès le XVIeme Siècle, Francois Viète met en évidence la corrélation entre racines probables du polynôme et

ses coefficients...c'est à dire bien avant Galois.

Danc cette logique, imaginons et posons :     α_i . xⁱ  =  ( D_i  .  f )              (B)

C'est à dire, créons des proportions relatives au terme constant (f) en nous inspirant du fait que face à une équation du Second Degré est un produit de la racine tel que vu dans les articles précedents étudiant la factorisation par ce biais.

Je rappelle :  X² - (X₁ + X₂ ) . X + ( X₁ . X₂) = 0

- Dans un premier temps, il sera nécessaire de vérifier que la factorisation de (f), terme constant,  ne donne pas la solution.

- Dans l'exemple suivant traité, afin de montrer que l'on peut agir à sa guise, selon son imagination, nous allons poser :

     au lieu de (B):                     α_i . xⁱ  =  α_i . ( D_i . f )              (B ' )         en conservant le coefficient alpha...

- On écrit  (A):            a . x²  +  b . x  - f . ( 1 + Σ (α . D_i) )  = 0

                                    avec donc   Delta  =  b²  +  4 . a . f . ( 1 + Σ )

En anticipant que  (  1 + Σ )  puisse être unRationnel......On écrit    ( 1 + Σ )  =  Y / f

On aura   Delta = b²  +  4 . a . Y   > 0      et  une racine solution  X_sol  =  ( - b + Delta^1/2 ) / (2a)

c'est à dire   ( 2 . X_sol  +  b  ) ²  =  b²  +  4aY      et    X_sol²  +  X_sol. ( b - z )  =  0        avec  Y  =  z . X_sol       ,a = 1

                            X_sol  =  ( z - b ) / a  =  Y / z

- Le signe  de ( Σ α_i.D_i )  sera étudié dans un tableau prenant en compte ceux de (a) et (f) afin que le Delta soit positif

                         (f)      (a)          (1 + Σ)

                         +         +                +

                         -          -                 +

                          +         -                -

                          -          +               -

w = n - 2  =  degré du polynôme - 2  = Nbre de D_i  à créer.

      On partira à la recherche des D_i  compatibles  avec Delta, grâce aux ressources informatique modernes dont ne disposaient pas les anciens qui ne pouvaient donc pas s'astreindre à de telles idées de part les difficultés probables du dénombrement à effectuer...

      On cherchera à  obtenir un delta  permettant d'avoir des valeurs entières en  X_sol.

13. x⁶  -  24 . x⁵  - 7 . x⁴  + 41 . x³  + 7 . x²  - 69. x - 19116515  = 0

x²  -  69 . x - 19116515 . ( 1 -13.D₁ + 24 . D₂ + 7 . D₃ - 41 . D₄ )  =  0

19116515 = 5 . 11 . 503 . 691     ....Cas particulier où   ( 1 1 ) est solution

( 24. D₂+ 7 . D₃ )  -  ( 13 . D₁  + 41 . D₄  )  =  K - L  =  ( - 1 )

exemple  K = 1  et  L = 5              ....    D₂ = - 1      D₃  =  4     D₄  =  9    et  D₁  =  - 28

Y  = 638          X²  -  69 . X  +  638  = 0         vrai    pour  X_sol  = 11    ....   638 = f . ( 1 - ( 1 + 638 / f ) )

                                                                                                                         Delta  = 2209 = 47²

Cet axe de réflexion algorithmique ne peut-il pas aller à l'encontre des conclusion de Matiassevitch ?

                                               FRNCILLETTE Thierry Jules