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21 octobre 2010 4 21 /10 /octobre /2010 10:11

 

Soit un Polynôme quelconque réduit à :

 

             Σ ( αi . xi )  +  a . x2 + b . x  + f = 0             (A)

Dès le XVIeme Siècle, Francois Viète met en évidence la corrélation entre racines probables du polynôme et

ses coefficients...c'est à dire bien avant Galois.

 

Danc cette logique, imaginons et posons :     αi . xi  =  ( Di  .  f )              (B)

C'est à dire, créons des proportions relatives au terme constant (f) en nous inspirant du fait que face à une équation du Second Degré est un produit de la racine tel que vu dans les articles précedents étudiant la factorisation par ce biais.

 

Je rappelle :  X2 - (X1 + X2 ) . X + ( X1 . X2) = 0

 

- Dans un premier temps, il sera nécessaire de vérifier que la factorisation de (f), terme constant,  ne donne pas la solution.

 

- Dans l'exemple suivant traité, afin de montrer que l'on peut agir à sa guise, selon son imagination, nous allons poser :

 

     au lieu de (B):                     αi . xi  =  αi . ( Di . f )              (B ' )         en conservant le coefficient alpha...

 

- On écrit  (A):            a . x2  +  b . x  - f . ( 1 + Σ (α . Di) )  = 0

 

                                    avec donc   Delta  =  b2  +  4 . a . f . ( 1 + Σ )

 

 

En anticipant que  (  1 + Σ )  puisse être unRationnel......On écrit    ( 1 + Σ )  =  Y / f

 

On aura   Delta = b2  +  4 . a . Y   > 0      et  une racine solution  Xsol  =  ( - b + Delta1/2 ) / (2a)

 

c'est à dire   ( 2 . Xsol  +  b  ) 2  =  b2  +  4aY      et    Xsol2  +  Xsol. ( b - z )  =  0        avec  Y  =  z . Xsol       ,a = 1

 

                            Xsol  =  ( z - b ) / a  =  Y / z

 

- Le signe  de ( Σ αi.Di )  sera étudié dans un tableau prenant en compte ceux de (a) et (f) afin que le Delta soit positif

 

                         (f)      (a)          (1 + Σ)

                         +         +                +

                         -          -                 +

                          +         -                -

                          -          +               -

 

w = n - 2  =  degré du polynôme - 2  = Nbre de D à créer.

 

      On partira à la recherche des Di  compatibles  avec Delta, grâce aux ressources informatique modernes dont ne disposaient pas les anciens qui ne pouvaient donc pas s'astreindre à de telles idées de part les difficultés probables du dénombrement à effectuer...

      On cherchera à  obtenir un delta  permettant d'avoir des valeurs entières en  Xsol.

 

 

13. x6  -  24 . x5  - 7 . x4  + 41 . x3  + 7 . x2  - 69. x - 19116515  = 0

 

x2  -  69 . x - 19116515 . ( 1 -13.D1 + 24 . D2 + 7 . D3 - 41 . D4 )  =  0

 

19116515 = 5 . 11 . 503 . 691     ....Cas particulier où   ( 1 1 ) est solution

 

( 24. D2+ 7 . D3 )  -  ( 13 . D1  + 41 . D4  )  =  K - L  =  ( - 1 )

 

exemple  K = 1  et  L = 5              ....    D2 = - 1      D3  =  4     D4  =  9    et  D1  =  - 28

 

Y  = 638          X2  -  69 . X  +  638  = 0         vrai    pour  Xsol  = 11    ....   638 = f . ( 1 - ( 1 + 638 / f ) )

                                                                                                                         Delta  = 2209 = 472

 

 

Cet axe de réflexion algorithmique ne peut-il pas aller à l'encontre des conclusion de Matiassevitch ?

 

 

                                               FRNCILLETTE Thierry Jules

  

 

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Published by matreadel - dans mathématiques
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