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20 mars 2010 6 20 /03 /mars /2010 15:09

  
Nous placerons dans le cas classique où  (N)  =  P1 . P2
produit de 2 nombres premiers.

 Nous avons à résoudre
                                      X2 ≡ q [ N ]                  (A)

et souhaitons savoir quand cela est exacte, afin de ne pas effectuer une recherche inutile.


             Nous établissons                                   VAL = mid2 + mid + Rmid + 1

avec             mid = (N - 1) / 2     et   mid2 - 1 ≡ Rmid  [ N ]  

Nous résolvons l'équation:
                                         X2 - X .N  +  VAL  -  N  =  0

et retenons      [ X2 ]  +  1   =  limsolv      ...partie entière de la 2eme solution, augmentée d'une unité.


      ALORS,
                 mes recherches me permettent de dire que  
                  
                        Si (q) est le reste d'une valeur (X) comprise entre limsolv et mid
c'est à dire appartenant à l'intervalle [ limsolv , mid ],

alors, l'équation      X2 - X . N + VAL - (q)  =  0

                   aura  2 solutions entières et exactes,
                   tel que (A) soit vraie.

En effet,
à l'exception des (X) multiples des facteurs de (N) dont les résidus selon (A) n'existent 
qu'en simple exemplaire, 
    
   Les (X) appartenant à l'intervalle [ limsolv , mid ] peuvent être mis en relation avec 

une 2eme valeur (X') < limsolv  ayant même reste selon (A) et tel que :

                GCD( N , X - X' ) ≠ 1                    une remarque effectuée dans l'article précédent
                                                                   concernant la factorisation et les résidus quadratiques.


                                                FRANCILLETTE  thierry  jules


 

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Published by matreadel - dans mathématiques
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