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14 avril 2010 3 14 /04 /avril /2010 13:44

Nous avons mis précedemment en évidence une procédure algorithmique afin d'établir les côtés rationnels d'un triangle recrtangle dont, alors, un nombre congruent ( N' ) est l'aire :

 

                                  N'  =  ( A . B ) / 2      .....A   et  B   étant rationnels    A = ( a / k )  et  B  = ( b / k )

 

                                 2 . k2 . N'  =  2 .  p . q . ( p2  -  q2 )  =  2 . p . q . N                         (1)

 

Le nombre (N) peut être un nombre composé dont on chercherait à connaître la factorisation.

On pourrait donc supposer qu'à chaque ( N ) corresponde un nombre congruent ( N' ) selon (1).

 

 

Nous connaissons  (x , y)  coordonnées sur l'Elliptique   E(N')

                  

                 A  =  I  ( 2 . N' . x  ) /  y  I           ....valeur absolue

 

                 B  =  I  ( N' 2  -  x2 )  /  y  I

 

                 C =  I  ( N' 2  + x2 )  /  y  I

 

                  x  =  -  N'  . y

 

                  y  =  N' 2 . ( 1 + λ2 ) /  C

 

 

Répondant  à l'équation:                     y2  =  x3  -  N' 2 . x                         (2)

 

 

Cas  N'  =  5    et   ( x , y )  = (  - 4 , 6 )    répondant au triangle de côté rationnels  ( 40 / 6,  9 / 6,  41 / 6)

 

       On constate alors que   Lambda   (λ) = 4 / 5     lié au nombre (N) = p2  - q2  avec  p=5  et q=4

 

Nous connaissons  en effet :

                                             A / C  =  ( 1 - λ2 )  /  ( 1 + λ2 )                          (3)

                                 et        B / C  =  2 . λ  /  ( 1 + λ2 )                                  (4)

 

En le vérifiant numériquement, nous allons constater que

 cette valeur Lambda est réellement lié au nombre (N).

Un lien capable de prendre différents aspects en fonction  de la parité  des rapports en (3) et (4).

 

               Soit  N'  = 15    ayant pour solution  les  côtés  8 / 2   15 / 2   et  17 / 2

                                           avec   p  = 4  et  q  = 1

 

                            Si on écrit     8 / 17  =  équation  type (3)    et    15 / 17  =  équation type (4)

 

 On a     17  -  17 . λ 2  =  8  +  8 . λ 2    et en résolvant .... Lambda = ( p - q ) / ( p + q ) =  3  /  5 

  avec    15  + 15 . λ 2  =  34 . λ     on obtient   λ  =  (  34 ± 16 )  /  ( 2 . 15 )   càd  ( 5 / 3 )  ou  ( 3 / 5 )

                                                                                       cas précédent  ou l'inverse ( p - q ) / ( p + q )

 

Mais  Si     8 / 17  =  équation de type (4) .......=> on a  8  +  8 . λ 2  =  34  . λ

 

                ce qui conduit à  λ  =  (  34  ±  30 )  /  ( 2 . 8 )    càd  lambda =   p / q   ou  q  / p 

 

 

Tous ces rapports définissant Lambda parlent d'un seul et même rapport principal :

 

                                   P2  /  P1

 

Si ce rapport était connu de façon précise pour un nombre (N) composé,

     sa factorisation serait facile par le biais des nombres congruents.

 

Mais mon expérience prouve que cela le serait encore plus facilement de manière graphique et non elliptique

par le biais d'équations algébriques intégrant ce rapport particulier.

Un schéma de résolution que je développerai ultérieurement en créant un "RADAR algébrique" sur Graphe.

 

 

 

 

                                             FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel - dans mathématiques
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