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17 mars 2010 3 17 /03 /mars /2010 12:29
 Connue comme le problème de Syracuse,

Il s'agit de comprendre les raisons qui conduiront tout nombre de départ
à aboutir à un cycle numérique:
                                                               4 2 1   
que l'on précise dès maintenant comme devant être considéré en tant que cycle de puissances de 2 :
                                      
                                                            22   21   20

lorsqu'on soumettra,
lui et les nombres auxquels il donnera naissance,
à une règle :
                             -  Si le nombre est pair : On divise par deux

                             -  Si le nombre est impair :  On effectue le calcul   (3 x N ) + 1

et ainsi de suite...

 -   Il est évident qu'afin de parvenir au cycle final, il est nécessaire de passer par une puissance de 2.
Mais on peut déjà constater que toutes les puissances de 2 ne peuvent être des points d'entrée par le processus
(3N+1) avec (N) impair.

   Seuls les impairs répondants à la Suite          U(n+1)  =  Un  +  2 (2n+2)
                                                                     avec        Uo = 1
peuvent donner de telles puissances.

   Nous allons créer une table de multiplication : Des puissances de 2, verticalement disposées, par les nombres impairs horizontalement disposés. 

                    0 1   2    3    4    5 ....rang des impairs = (IMP - 1 ) / 2 
        (2^0= 1) 3   5    7    9    11 ... les impairs 
                   2  6  10  14  18   22 ...
                   4 12 20  28  36  44 ...
                   8 24 40  56  72  88 ...
                 16 .. .. . ...
                  î_ les 2x

 Les raisonnements prendront en compte les lignes et colonnes du tableau.

   -I)   Tous les nombres pairs d'une même ligne sont CONGRUS à 2x  MODULO[ 2 (x+1) ]

   -II) Les pairs d'une même colonne peuvent être réduits, modulo une puissance de 2, à un nombre impair sommet de la colonne. 

   -III) Toutes les puissances de 2 conduisent par divisions successives par deux au cycle de syracuse 421.

   -IV) Selon syracuse les impairs créent des valeurs paires.

Démontrer l'existence du cycle pour tout nombre équivaudra à montrer que le processus "3X+1" tend inéluctablement vers une puissance de 2.
La multiplication au sein du tableau, finit par atteindre la colonne de ces puissances.

Selon "3X+1" : 

        La multiplication d'un IMPAIR de rang pair renvoit à gauche dans le tableau.
On passe d'un rang (r)
                                 à (r') = (3r+2) / (2x)  - 1/2

       Pour un rang impair qui renvoit à droite : (r') = (3r+1)/2

On peut  écrire :

 Npair = ( 3 x IMPAIR + 1 )   CONGRU à    2 x    Modulo [ 2 (x+1) ]

Pour tout nombre impair (N') = N + z . 2x

        N'   CONGRU à    N    modulo [ 2 (x+1) ]

        3 . N' + 1  =  3 . N + 3 . k . 2 (x+1) + 1

 Ce qui équivaut à dire que :

      3 . N' + 1   est CONGRU à   ( 3 . N + 1 )   modulo [ 2 (x+1) ]

 OR,
         3 . N + 1   =  pair    CONGRU à     2 x    modulo [ 2 (x+1) ]

DONC :        3 . N + 1 => 2 x                   Les restes sont EQUIVALENTS.

C'est à dire que le processus numérique au sein de Syracuse "3X+1"
tend vers la création d'une puissance de 2.


                                                           FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel.over-blog.com - dans mathématiques
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