17 mars 2010
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Connue comme le problème de Syracuse,
Il s'agit de comprendre les raisons qui conduiront tout nombre de départ
à aboutir à un cycle numérique:
4 2 1
que l'on précise dès maintenant comme devant être considéré en tant que cycle de puissances de 2 :
22 21 20
lorsqu'on soumettra,
lui et les nombres auxquels il donnera naissance,
à une règle :
- Si le nombre est pair : On divise par deux
- Si le nombre est impair : On effectue le calcul (3 x N ) + 1
et ainsi de suite...
- Il est évident qu'afin de parvenir au cycle final, il est nécessaire de passer par une puissance de 2.
Mais on peut déjà constater que toutes les puissances de 2 ne peuvent être des points d'entrée par le processus
(3N+1) avec (N) impair.
Seuls les impairs répondants à la Suite U(n+1) = Un + 2 (2n+2)
avec Uo = 1
peuvent donner de telles puissances.
Nous allons créer une table de multiplication : Des puissances de 2, verticalement disposées, par les nombres impairs horizontalement disposés.
0 1 2 3 4 5 ....rang des impairs = (IMP - 1 ) / 2
(2^0= 1) 3 5 7 9 11 ... les impairs
2 6 10 14 18 22 ...
4 12 20 28 36 44 ...
8 24 40 56 72 88 ...
16 .. .. . ...
î_ les 2x
Les raisonnements prendront en compte les lignes et colonnes du tableau.
-I) Tous les nombres pairs d'une même ligne sont CONGRUS à 2x MODULO[ 2 (x+1) ]
-II) Les pairs d'une même colonne peuvent être réduits, modulo une puissance de 2, à un nombre impair sommet de la colonne.
-III) Toutes les puissances de 2 conduisent par divisions successives par deux au cycle de syracuse 421.
-IV) Selon syracuse les impairs créent des valeurs paires.
Démontrer l'existence du cycle pour tout nombre équivaudra à montrer que le processus "3X+1" tend inéluctablement vers une puissance de 2.
La multiplication au sein du tableau, finit par atteindre la colonne de ces puissances.
Selon "3X+1" :
La multiplication d'un IMPAIR de rang pair renvoit à gauche dans le tableau.
On passe d'un rang (r)
à (r') = (3r+2) / (2x) - 1/2
Pour un rang impair qui renvoit à droite : (r') = (3r+1)/2
On peut écrire :
Npair = ( 3 x IMPAIR + 1 ) CONGRU à 2 x Modulo [ 2 (x+1) ]
Pour tout nombre impair (N') = N + z . 2x
N' CONGRU à N modulo [ 2 (x+1) ]
3 . N' + 1 = 3 . N + 3 . k . 2 (x+1) + 1
Ce qui équivaut à dire que :
3 . N' + 1 est CONGRU à ( 3 . N + 1 ) modulo [ 2 (x+1) ]
OR,
3 . N + 1 = pair CONGRU à 2 x modulo [ 2 (x+1) ]
DONC : 3 . N + 1 => 2 x Les restes sont EQUIVALENTS.
C'est à dire que le processus numérique au sein de Syracuse "3X+1"
tend vers la création d'une puissance de 2.
FRANCILLETTE thierry jules
Il s'agit de comprendre les raisons qui conduiront tout nombre de départ
à aboutir à un cycle numérique:
4 2 1
que l'on précise dès maintenant comme devant être considéré en tant que cycle de puissances de 2 :
22 21 20
lorsqu'on soumettra,
lui et les nombres auxquels il donnera naissance,
à une règle :
- Si le nombre est pair : On divise par deux
- Si le nombre est impair : On effectue le calcul (3 x N ) + 1
et ainsi de suite...
- Il est évident qu'afin de parvenir au cycle final, il est nécessaire de passer par une puissance de 2.
Mais on peut déjà constater que toutes les puissances de 2 ne peuvent être des points d'entrée par le processus
(3N+1) avec (N) impair.
Seuls les impairs répondants à la Suite U(n+1) = Un + 2 (2n+2)
avec Uo = 1
peuvent donner de telles puissances.
Nous allons créer une table de multiplication : Des puissances de 2, verticalement disposées, par les nombres impairs horizontalement disposés.
0 1 2 3 4 5 ....rang des impairs = (IMP - 1 ) / 2
(2^0= 1) 3 5 7 9 11 ... les impairs
2 6 10 14 18 22 ...
4 12 20 28 36 44 ...
8 24 40 56 72 88 ...
16 .. .. . ...
î_ les 2x
Les raisonnements prendront en compte les lignes et colonnes du tableau.
-I) Tous les nombres pairs d'une même ligne sont CONGRUS à 2x MODULO[ 2 (x+1) ]
-II) Les pairs d'une même colonne peuvent être réduits, modulo une puissance de 2, à un nombre impair sommet de la colonne.
-III) Toutes les puissances de 2 conduisent par divisions successives par deux au cycle de syracuse 421.
-IV) Selon syracuse les impairs créent des valeurs paires.
Démontrer l'existence du cycle pour tout nombre équivaudra à montrer que le processus "3X+1" tend inéluctablement vers une puissance de 2.
La multiplication au sein du tableau, finit par atteindre la colonne de ces puissances.
Selon "3X+1" :
La multiplication d'un IMPAIR de rang pair renvoit à gauche dans le tableau.
On passe d'un rang (r)
à (r') = (3r+2) / (2x) - 1/2
Pour un rang impair qui renvoit à droite : (r') = (3r+1)/2
On peut écrire :
Npair = ( 3 x IMPAIR + 1 ) CONGRU à 2 x Modulo [ 2 (x+1) ]
Pour tout nombre impair (N') = N + z . 2x
N' CONGRU à N modulo [ 2 (x+1) ]
3 . N' + 1 = 3 . N + 3 . k . 2 (x+1) + 1
Ce qui équivaut à dire que :
3 . N' + 1 est CONGRU à ( 3 . N + 1 ) modulo [ 2 (x+1) ]
OR,
3 . N + 1 = pair CONGRU à 2 x modulo [ 2 (x+1) ]
DONC : 3 . N + 1 => 2 x Les restes sont EQUIVALENTS.
C'est à dire que le processus numérique au sein de Syracuse "3X+1"
tend vers la création d'une puissance de 2.
FRANCILLETTE thierry jules