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11 mars 2010 4 11 /03 /mars /2010 12:00
   Un des derniers problèmes antiques sans solutions précises et liés aux courbes elliptiques.

Trouver les côtés rationnels d'un triangle rectangle ayant pour aire (N')

Je propose de déterminer ces valeurs rationnelles grâce à un algorithme utilisant
l'équation du second degré comme moyen de factorisation sur la base de :

                                X 2  -  S . X  +  N  =  0

avec  N = X1 . X2  et  S  = X1  +  X2

tel que l'on scrute (S) à partir d'une valeur minimum :   Smin = 2 . [  N 1/2  ] +  2

Nous recherchons de virtuels "X1" et " X2" permettant d'écrire :

              N =   2 .  N' . k 2  =  "X1" . "X2"                                                        étape 1
Partant des valeurs entières des racines ontenues,
On diminue la valeur de "X2" par unité en cherchant :                           étape2

     ( ( 2. N'. k 2 ) / (X2) ) 2  +  (X2) 2   =   Un carré entier parfait           

      Si c'est le cas on affiche le résultat                                                      étape3

      (N')  est un nombre congruent, Aire d'un triangle rectangle ayant
pour côtés rationnels :

                     ( X2 ) / k                                                 (A)  

                    (  ( 2.N'.k 2 ) / (X2) )  /  k                       (B)

                    (  (  A 2  +  b 2  )^(1/2)  )  /  k               (C)

      Si ce n'est pas le cas on continue à décrémenter "X2"
Et si l'étape(3) ne se produit pas avant   (X2) = 2,
alors on change de (k) :        k + 1  => k

Puis, on retourne à l'étape(1) pour une nouvelle factorisation de départ selon
le principe de création d'une valeur (Smin).

Un tel algorithme n'établit pas au départ s'il existe une solution;
Il dit que si (k) existe, il le trouvera. Etant entendu que le calculateur électronique
est suffisamment rapide.
   On sait que (k) peut être très grand.

On touche ici le problème de la calculabilité. Et il est clair que l'on préfèrerait
savoir dès le départ s'il existe une solution et ne pas chercher pour rien.

Pour ma part, malgré le fait qu'il ait été établi que certains nombres ne soient pas
des nombres congruents du fait qu'ils ne vérifient pas certaines confruences,
je préfère imaginer que ces exceptions correspondent à une classe de nombres
donnant naissance à des valeurs gigantesques de (k) qui, inaccessibles, laissent
penser qu'elles n'existent pas.
   La conjecture de Birch-Swinertton-Dyer
qui touche aux courbes elliptiques en touchant  du même coup les nombres
congruents, cherche à établir un critère qui permettrait de savoir à l'avance
la situation dans laquelle on se trouve.
   Selon mes premières réflexions,
j'estime qu'un nombre est de nature elliptique s'il peut s'écrire sous une certaine
forme :
               Différence  ou somme de multiples rationnels de cubes.

N'  =  a 3 . (L / k x )  -  b 3 . ( L' / k x )     congru  à  ( x y ) - {1,2,3}  modulo [  x y ]

      Concernant les nombres congruents, on peut remarquer en
partant d'une remarque faite par Fibonacci :

                    (2p) . (2q ) . (  (2p) 2  -  (2q) 2  )  =  un multiple de 24  =  24 . n

on peut écrire :

                              2 . N' . k 2  =  3 . n  =  2 . p . q . ( p 2  -  q 2 )
on cherche alors
     des                   (n)i  =  (n)0  +  B . U  +  A . W 
     avec :
                   (n)0  =  6 .N'
                    (k)0  = 3
                   W  =  12 . N'
                   U  = 3 . W / 2  = 18 . N'

Lorsque  l'indice (i) est  pair............B = 2   et   A  = ( i 2  + 2 . i  -  6 ) / 2

Lorsque l'indice (i) est impair.........B = 1  et    A = (  i  +  1 ) 2  /  2  -  2


                                                       FRANCILLETTE thierry jules

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