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25 mars 2010 4 25 /03 /mars /2010 11:19

 Nous continuons à nous placer dans le cadre général où

                          N  =  P1 . P2         est le produit de 2 nombres premiers impairs

Nous considérons les (X) = "zéro de thierry" = Z  
                                  tel que                                              Z 2 -  1 ≡ 0  [ N ]

Ils sont au nombre de 2 :       Z1 < mid    et   Z2 > mid+1

avec                   (a) =   mid  -  Z1  =  Z2  -  ( mid +1 )          et     mid  =  ( N -1 ) / 2

          Autour  de  Z1,
on peut constater les différentes congruences suivantes :
(elles se retrouveront de manière symétrique autour de Z2)


                      ( Z1 -  2 ) 2 - 1  ≡   4 . ( mid  -  Z1 ) + 6      [ N ]       Si  (mid)  est  impair  (cas 1)
                                                 ≡  N  +  4 . ( 1  -  Z1 )         [ N ]       Si  (mid)  est  pair       (cas 2)


                      ( Z1  - 1 )  - 1  ≡  N + 1 - 2 . Z1                                (cas 1)
                                                  ≡  N + 1 - 2 . Z1                               (cas2 )   ici, idem précedent


                       ( Z1 ) 2  - 1  ≡  0   [ N ]



                       ( Z1 + 1) - 1  ≡   2 . Z1  +  1                                   (cas 1)
                                                 ≡   2 . Z1   +  1                                   (cas 2)


                        ( Z1  + 2 ) 2 - 1  ≡  3 + 4 . Z1 - 2 . mid                    (cas 1)
                                                    ≡  4 . ( 1 + Z1 )                                (cas 2)


En écrivant          B  =  ( Z12  -  1 ) / N    et     A  =  ( Z22  -  1 ) / N

 

 

          Si           (B) est impair = 4. t . t' + 2 . ( t + t' ) + 1       et     (A) pair  =  4 . z . z'

 

alors,               t  =  (  P1 . ( Z1 - 1 ) / N  -  1  )  /  2
                         t'  =  ( P2 . ( Z1 + 1 ) / N  -  1 )  / 2

                          z  =  P1 . ( Z2 + 1 )  /  ( 2 . N )
                          z'  =  P2 . ( Z2  -  1  )  /  ( 2 . N)

        Si  on a l'inverse avec  (B) pair  et   (A)  impair ,
alors on remplace   Z1 par Z2  et  Z2 par Z1, en inversant les signes (hors " - 1 " ) au numérateur
de ( t , t' , z , z' ).


                                           FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel - dans mathématiques
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