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15 mars 2010 1 15 /03 /mars /2010 11:32

    La racine carré peut être vue comme le module d'un nombre complexe (a + b.i) ayant (a) et (b)
respectivement comme partie réelle et partie imaginaire.
Ce complexe étant solution d'une équation du second degré :
                                                                                                                  X^2  +  X  +  N  =  0
ayant un discriminant  de type "b^2 - 4ac" négatif.

On peut écrire sous  une forme générale, la solution complexe :

                                                                        xsol1  =  ( - 1/2 )  +  i  . (  (  4 / w  ) ^( -1/2 )  )
avec (w) = ( 4 . N - 1 )

    Le module de ce complexe  ( a^2  +  b^2  )^(1/2)   correspondant à la racine carrée de (N) :
                                                        
                                                                                                  N^(1/2)
 Une telle vision peut permettre de contourner la gêne créée par l'existence
 de valeurs irrationnelles qui pourraient correspondre à la norme d'un vecteur auquel donnerait
 naissance le nombre complexe.
      Si le vecteur existe, on ne peut mettre en doute ses dimensions...

-   Une formule permettant de généraliser l'extraction de racines :

                       X ^(2n)  -  X ^n  -  ( A ^2  -  A )  =  0           ayant pour solution :       X  =  A ^( 1 / n )  

 -   On remarquera que le polynôme  ( X^2  +  X  )
correspond au calcul de la somme des nombres pairs successifs si l'on considère
la valeur (X) comme l'indice  correspondant à la place du plus grand pair atteint au sein
d'une numérotation où (2) est le premier.

En partant de l'écriture  ( i^2  +  i  ),
La somme des nombres pairs jusqu'au  5-ième, c'est à dire Dix
sera :
                     5^2  + 5  =  2 + 4 + 6 + 8 + 10  =  30

 -   Nous retrouverons ce calcul ultérieurement, lorsqu'il s'agira d'étudier
 les résidus quadratiques d'un nombre (N) composé et notamment produit de deux nombres
premiers.

-   Autre remarque, peu pratique au niveau calculabilité, mais intéressante:

       Un nombre impair est un carré si

                          N ^ ( N / 2 )   est divisible par  (N)

       (toujours vrai pour les nombres pairs)

      Cela peut facilement être vérifié en écrivant (N) : 

                                     (   N ^ ( N / 2 )  ) /  N  =  N  ^  ( (N - 2) / 2 )   =  N ^(1/2) . N ^ ( (N- 3)/2) )

      Si (N) impair,   n'est pas un carré, on n'obtiendra pas une valeur entière.


                                           FRANCILLETTE  thierry jules

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Published by matreadel.over-blog.com - dans mathématiques
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