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10 mars 2010 3 10 /03 /mars /2010 12:02

   Calculer la longueur d'une ellipse est un problème difficile lorsqu'il s'agit d'obtenir des dimensions exactes.
Ce calcul nécessite une intégration compliquée devant être ajustée par des sommations.
   Je propose de simplifier le calcul en utilisant l' intégrale d'un cercle que j'appelle primaire à l'éllipse.

En effet ,
il apparait clairement qu'une ellipse semble se loger de manière tangantielle, de part et d'autre de sa petite longueur dans l'intersection de deux cercles de même diamiètre. L'ellipse est symétrique par rapport à sa grande longueur.

   Ce cercle est le générateur de l'éllipse par un successions de constructions géométriques qui équivalent à des opérations algébriques. Elles ne seront pas établies ici et je me contenterais de donner le résultat final :

        Au lieu d'intégrer  (A) :      ( 1 + y' ) 1/2  liée à l'équation de l'ellipse :
                                                                                                            (x/a) 2 + (y/b) 2 =1
avec y = (  ( (ab) 2 - (xb) 2  ) 1/2  ) / 2 

et donc une dérivée qui n'est pas commode :          y' = ( - x.(b) 2 ) / ( a. ( (ab) 2 - (xb) 2 ) 1/2 )

       Nous alons intégrer (A) liée au cercle primaire créant l'intersection au sein de laquelle se loge l'ellipse.
Pour ce cercle de rayon (R), la dérivée (y') sera simplifiée:
                                                                                                          y' = x / ( R 2 - x 2 ) 1/2
Nous établissons des variables "primaires" nécessaires au calcul et liées à (a) et (b), respectivement les demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse:

b = R . ( 29 1/2 - 3 ) / 3

a = R . ( 2 . 29 1/2 - 5) / 6

T = a = L + Z = L + q + z / 4

L = R . 29 1/2 / 6

Z = R . (29 1/2 - 5 ) / 6

q = 3 . Z / 4

                    l' INTEGRATION   de (A)  se fera de   0  à  T = a  :   équivaut au calcul du quart de la dimension cherchée

Puis la valeur sera précisée dans un premier temps en l'additionnant à :
                                                                                            L / 10 - L / 10000
Mais au final la précision devient meilleur en ajoutant au résultat de l'intégration :
                                                                                             inf
                                                                             L / 10  -    ∑ ( ( L - Z ) . 10 ( - n ) )
                                                                                            n>3
La dimension totale de l'ellipse sera obtenue en multipliant  par quatre.


                                                 FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel.over-blog.com - dans mathématiques
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