Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
15 mars 2010 1 15 /03 /mars /2010 13:50
    En utilisant la difficulté qu'il y a à mettre en évidence la valeur (x)
au sein de la congruence  pour de grandes valeurs connues et particulières  ( A, B , C) :

                                          A x  = C  [ B ]       
 
(lire...(A) élevé à la puissance (x) est congru à (C) modulo (B))

on peut créer des systèmes de chiffrement dans le domaine de la cryptologie.

   Nous allons effectuer ici une première approche du problème, hors du domaine des Groupes.
Cela afin de mettre en évidence quelques calculs logiques qui conduisent à une solution
lorsque l'on reste dans un cadre diophantien.
Ultérieurement nous aborderons le sujet en constatant qu'il pourrait exister des cas particuliers
permettant de résoudre, sous groupe cyclique, le problème du logarithme discret et cela grâce,
encore une fois, à l'équation du second degré exploitant des rapports particuliers entre ( A^x  et B).

   Soient les valeurs numériques suivantes connues :       g,   g ka   et  g kb

l'objectif est de connaître:     g ( ka . kb )                     avec   ka > kb

Nous allons aboutir à des solutions en utilisant simplement les règle liées à la fonction logarithme.

          g ka  /  g kb  =  g ( ka - kb )       et   g ka  .  g kb  =  g ( ka + kb )

ka  -  kb  =  (  Ln(g ka)  -  Ln(g kb)  )  /  Ln(g)

ka +  kb  =  Ln(  g ka  .  g kb  )  /  Ln(g)

En effectuant des changements de variables :

(  Ln(g ka ) -  Ln( g kb )  )  /  Ln(g)  =  2 . ka  -  Ln( g ka  .  g kb  )  /  Ln(g)

D'où

          ka  =   (  Ln (g ka )  -  Ln( g kb ) +  Ln(  g ka . g kb  )  )  / ( 2 . Ln(g) )

et également 

          kb  =   (  - Ln (g ka )  +  Ln( g kb ) +  Ln(  g ka . g kb  )  )  /  ( 2 .Ln(g) )


On peut alors calculer la valeur     g ( ka . kb )
  

    Effectuons un premier pas vers le calcul du logarithme discret modulo une valeur.
Ici, un nombre premier.
On peut constater qu'en calculant (ka) et (kb) en utilisant les restes correspondant à  g ka et g kb
modulo [ P ] et en gardant la valeur de (g) sans la réduire ( que (g) soit supérieur ou non à (P) ),
    on obtient des valeurs décimales pour (ka) et (kb), respectivement  (kac) et (kbc)
tel que si :

                       g ka  ≡  ra  [ P ]   et   g kb  ≡  rb  [ P ]

alors,           g kac ≡ ra   et  g kbc = rb

La simple élévation  à la puissance décimale, redonne les restes correspondants.
                         
                                                    FRANCILETTE thierry jules

Partager cet article

Repost 0
Published by matreadel.over-blog.com - dans mathématiques
commenter cet article

commentaires

Présentation

  • : Le blog de matreadel.over-blog.com
  • : impressions et raisonnements mathématiques
  • Contact

Recherche

Liens