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6 mars 2010 6 06 /03 /mars /2010 11:28

     Euler à estimer la somme de l'inverse du carré des entiers successifs comme comme convergeant vers un rapport impliquant le nombre Pi; le sixième de son carré.
                                                inf
                                                  ∑ ( n ( - 2 ) )  =>  (Pi 2) / 6                                               
                                                1

Nous allons établir un rapport de même nature pour les puissance supérieures à 2, en écrivant :
                                               inf
                                                ∑ ( n ( - alpha ) ) => ( Pi xsol ) / ( 2 ( alpha + 1 ) - alpha )
                                               1
Dans le cas d'Euler, alpha est égal à deux;

    De manière expérimental, en faisant varier (alpha) et en exprimant  (xsol) comme un rapport de logaritmes pour des valeurs de sommes d'inverses pré-calculées,
on observe que l'écart:  
                                          (alpha) - (xsol) => (xsol) 2 / 10  

Ce qui nous permet d'approximer (xsol) en tant que racine positive de l'équation du IInd degré:

                                         x 2 + 10.x - 10.(alpha) = 0

avec:   (xsol) = ( 5.(2.alpha+5) ) 1/2 - 5 

           Pour (alpha) variant de 3 à 7, on obtient une bonne approximation de la somme des inverses.
Puis, au delà, une divergence vers zéro se produit.

Mais en observant les variations de l'écart qui se produit, on peut établir un algorithme:

              ∑ - estimation(  ∑ ) = (  ∑(n ( - 7 ))  -  Estimation( ∑(n ( - 7 )) ) + ( z . 11/100)
avec :
              z = alpha - m
et
             (m) environ égal à 7, jusqu'à (alpha) =11
puis,
         notamment dès que (alpha) est supérieur à 39 et tend vers de grandes valeurs:

             (m) = alpha - 9 + constante

             constante = 0.71455697...


                                         FRANCILLETTE thierry jules

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