28 avril 2010 3 28 /04 /avril /2010 12:56

   La somme de l'inverse des entiers à une puissance supérieure ou égale à 2

a toujours été un point d'observation favori pour les Mathématiciens et cela d'autant plus après le lien

qui fut établi par EULER entre cette somme ( pour des puissances carrées) et un certain produit intégrant

les nombres premiers.

   Relation qui prendra de l'importance ( si tant est qu'en l'état son attirance ne fut pas suffisante)

lorsque Riemann y intégrera des valeurs complexes au niveau des puissances, en débouchant sur la conjecture portant son nom après quelques manipulations mathématiques qui ne seront pas traitées ici... 

 

   La recherche d'un algorithme permettant d'exprimer la somme des inverses d'une manière simple et condensée

a occupé sans succès de nombreux Mathématiciens.

 

   J' apporte ici ma solution.

 

Elle consiste à donner naissance à une écriture  de     ∑  ( 1 / n 2 )

non pas tant moins lourde que le développement auquel on aurait été confronté en écrivant tous les termes

de la somme,  mais à la réécrire de manière plus calculable et cela à partir de son développement finalement réduit à un rapport de termes mathématiques évocateurs connus permettant de mieux appréhender l'intimité numérique de la somme.

 

1  +  1 / 2 2  =  (  (  1  +  1  ) 2  +  1   )  /  (  1  +  1  ) 2

 

1  +  1  /  2 2  +  1  /  3 2  =  1  +  1  /  ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 - 0 )  +  1  /  ( 1 + 1 + 1 ) ( 1 + 1 + 1 - 1)

          (  1 + 1 + 1 ) ( 1 + 1 + 1 ) - 1  x  ( ( 1 + 1 ) 2  + 1 )  +  ( 1 + 1 ) 2

       =    ------------------------------------------------------------------------------------------------------

           ( 1 + 1 ) 2  x  (  1 + 1 + 1 ) ( 1 + 1 + 1 ) -1

 

Ceci peut paraître laborieux, mais c'est le chemin que j'ai suivi afin de prendre conscience de ce qui se passait

au niveau numérique...

 

Je développe ainsi la Somme des inverses carrés pour (n) = 4 et 5

jusqu'à ce que je puisse écrire, cela me sautant aux yeux :

 

          5 2  x  (  4 2 x ( 3 2 x ( 2 2 + 1 ) + 2 2 )  +  2 2 x 3 2 )  + ( A(4,4) ) 2

  =    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------    STRUCTURE 1

                                            ( 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 )

 

avec   A( n , n ) =  n !    :   Arrangement de (n) élément de (n)-manière

 

           et donc au     Dénominateur   ( 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 )  =  A ( 5 , 5 ) 2

.....On peut tout de suite préciser que :  

               POUR les Puissances supérieures à 2, il suffit de remplacer  la Puissance 2

               au sein de la STRUCTURE 1. cela est également valable pour les Puissances complexes !           

 

 

D'où la forme générale :

                               n                                                       n-1

                      ∑ ( A( n , n )  /  i  ) 2            A( n , n ) 2  +  ∑ ( A( n , n )  /  i ) 2  +  A( n-1 , n-1 ) 2

                                            i = 1                                                                i = 2

  ∑ ( 1 / n 2 )   =    ---------------------------------   =  --------------------------------

                                  A( n , n ) 2                                                  A( n , n ) 2

 

 

et donc  pour  ( n ) = 5                         On obtient la     STRUCTURE 2 :

 

        A( n , n )   +  ( A( n , n )  /  2 ) 2  +  ( A( n , n )  /  3 ) 2 +  ( A( n , n )  / 4 )  + A( n-1 , n-1 ) 2

    =    ---------------------------------------------------------------------------------

                                                               A( n , n ) 2

Au numérateur :

     

              Il y a  ( n - 2 ) valeurs ( internes ) entre  les valeurs aux extrémités:   n !  et  ( n - 1 ) !

 

 

EXISTE-T-IL UNE Manière d'obtenir les différents carrés suceessifs du numérateur ?

 

                                  OUI !

 

  J'ai créé cet ALGORITHME :      ...ici développé pour    ( n ) = 6

 

   Permettant de trouver   

 

      ∑ ( 1 / n 2 )  = ( 6 ! 2  +  360 2  +  240 2  +  180 2  +  144 2  +  5 ! 2 )  /  6 ! 2

 

       Nous partirons de   5 ! = 120

 

             On peut alors écrire l'  " Algotihme de thierry " :

 

        120 / ( 6 - 1 ) = 24

       

        24 + 120  =  144

 

        144 / ( 6 - 2 ) = 36

 

        36 + 144  =  180

 

         180 / ( 6 - 3 ) = 60

 

         60 + 180  = 240

 

         240 / ( 6 - 4 ) = 120

 

         120 + 240  = 360

 

         360 / ( 6 - 5 ) = 360              ..... Pré - STOP,   car la répétiton de la valeur annonce la fin.

 

         360  +  360  =  720  =  6 !       .....STOP.

 

            On constate que les calculs sont simples et que la valeur du numérateurs peut être facilement établie.

 

 

    À partir de ce simple algorithme,

    On va pouvoir créer une PYRAMIDE de valeur, que je nomme la " Pyramide d'Adèle"  ( pas de liens avec les adèles numériques...Elle précède une de mes plus importantes créations :  la " Pyramide de Daniel " ....à venir)

    au sein de laquelle des calculs vont pouvoir être effectués en donnant naissance 

   à des coefficients algébriques capables de définir la Factorielle.

 

    En effet à chaque étape de l' Algorithme de thierry,

    On a :

                 

               A( n-1 , n-1 )  /  ( n - 1 )  +  A( n , n )  =  n  x  A( n - 1 , n - 1 )  /  ( n - 1 ) 

                                                                                       =  n  x (  n  -  2  ) !

 

    Puis :  

 

        n  x  A( n - 1 , n - 1 )  /  (   (  n - 1 )  x  (  n - 2 )   )   +   n x A( n - 1 , n - 1 )  /  (  n - 1 )

                       

                                             

                                              =  (  n 2  -  n  )  x  (  n  - 3  ) !

 

   ....Ainsi de suite

      On obtient  :  

 

      P 1          ( n - 1 ) !      

      P 2          n x ( n - 2 ) !

      P3          ( n2 - n )  x ( n - 3 ) !

      P4          ( n 3  -  3 x n 2  +  2 x n  )  x  (  n  - 4 ) !

      P5          ( n 4  - 6 x n 3  +  11  x n 2  -  6 x n )  x ( n  - 5 ) !

      P 6         ( n  5 - 10 x n 4  +  35 x n 3  -  50 x n 2  +  24 x n ) x ( n - 6 ) !

 

    et en dépassant le stade (n) = 6

 

      P7          ( n 6  -  15 x n 5  + 85 x n 4  -  225 x n 3  +  274 x n 2  -  120 x n )  x ( n - 7 ) !

      P 8         ( n 7  -  21 x n 6  +175 x n 5  -  735 x n 4  +  1624 x n 3  -  1764 x n 2  + 720 x n )  x ( n - 8 ) !

 

                     (  REMARQUONS  L' ALTERNANCE du SIGNE des COEFFICIENTS  )  

 

    Donc      un Polynôme   =  P i  x  (  n - i ) !

 

                    LORSQUE    (  n  =  i  )    on obtient   un Polynôme  <=>   à   ( i ) !

 

                   où  apparait  un Coefficient  =  (  i  -  2  ) !      .....coeff du dernier terme.

    Rq:   Il est facile de simplifier l'écriture brut d'origine (...si évident, que je n'avais pas jugé utile de l'indiquer) en remarquant que  (i-2)! = i ! / ( i * ( i - 1 ) ) en diminuant qui plus est les coefficients du polynôme.

 

             

      En  ne  gardant que les Coefficient  ( en valeur absolue), on peut construire :

 

  La Pyramide d' Adèle :

                                                                                             (n)

                                                                                       0

                                                                                1    0       1

                                                                    1         1     0      2

                                                       1          3         2      0      3

                                           1         6          11        6     0      4

                                 1      10       35        50       24     0      5

                         1    15     85      225     274    120     0      6 

                 1   21   175   735   1624   1764   720     0      7

 

                   Soit   par exemple:      35  =  4  x  6  +  11                 où on reconnait   n  = 4

                                                          225  =  5  x  35  +  50                                             n  = 5

                                                         1624  =  6  x  225  +  274                                   .......

 

                                                          24  =  4  x  6  +  0

 

 

 

                                    

                                                          FRANCILLETTE thierry jules 

 

 

   Excusez l'affichage, qui bien que correct à la saisie du texte, peut varier au final...

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Published by matreadel - dans mathématiques
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commentaires

filtre 20/08/2010


Bonjour,
Elle est vraiment bien cette pyramide d'Adèle. Elle m'a fait penser au triangle de Pascal, ainsi qu'au crible de Sundaram (http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_de_Sundaram)

Mais surtout, tes résultats incluent n! (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000142)
mais aussi les nombres de Striling de première espèce
(http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Stirling)
et les résultats de l'expression exp(x)/(1-x)^5
(http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=6+41+316+2721&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search)

Et toutes les autres suites sont remarquables. Je veux dire vraiment remarquables. Merci.


ewe 17/10/2012

Voir Blog(fermaton.over-blog.com)No.22- THÉORÈME ÉTAT. - Nombres Premiers et Conscience.

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