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10 mars 2010 3 10 /03 /mars /2010 12:58
   Au cours de mes différents calculs, l'un des exercices qui revient le plus souvent consiste à réduire une suite de nombres à un algorithme capable de les générer successivement.

   J'ai ouvert de nombreux livres mes aucun ne mentionne

(cela reste vrai pour tous mes calculs qui visent souvent l'innovation...à défaut d'avoir des calculateurs puissants, je pense que l'on doit s'évertuer  à améliorer les algorithmes)
 
les résultats suivants, par ailleurs assez facile à établir :

Si la somme, pour toute parité des puissances de 2, est un calcul connu ou qui peut se déduire d'autres résultats:              
                                                                                   x
                                                                                   ∑  (  2 n  )   =   2 ( x + 1 ) - 2
                                                                                 n=1
Il m'a fallut établir les suivantes:
                    
          Pour les puissances exclusivement paires (xp):  
                                                                                  xp
                                                                                   ∑  (  2 n )  =  2 . (  2 ( xp + 1 ) - 2 ) / 3
                                                                                 n=2

          Pour les puissances exclusivement impaires (ximp):

                                                                                ximp
                                                                                    ∑   ( 2 n )  =  2 . ( 2  ( ximp + 1) - 1 ) / 3
                                                                                 n=1

On peut en déduire une écriture des nombres de Mersenne:     Mp = 2 p - 1
en utilisant la valeur
                                      R = (Mp -1 ) / 3 = (2 p - 2 ) / 3 = 2 . ( 2 ( ( p - 2 ) + 1 )  - 1 ) / 3

et donc                             p-2
                      Mp = 3 . (      ∑  2 n ) + 1
                                           n=1 ...............exclusivement impairs

de même une écriture des puissance de 2, peut être déduite en fonction de la somme.

                   
                                                                        FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel.over-blog.com - dans mathématiques
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