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21 avril 2010 3 21 /04 /avril /2010 13:27

Un rappel concernant les Zéros a été effectué dans l'article précédent " Blog-Bustons..."

 

    En fonction de la PARITE de la valeur  ( mid )   on établit  pour  ( N ) impair  =  P1 . P2

 

               Z 2   -   N . Z  +   mid 2  +  (  3 . mid  - 1 ) / 2     ≡  0   [ N ]          ...pour  (mid) = pair

                                                                                               =  k . N

 

               Z 2  -  N .  Z  +  mid 2  +  5 . mid  / 2        ≡  0  [ N ]      ...  pour  (mid) = impair

                                                                                    =  k . N

 

   avec      ( k )  =  (  Rmid  +  a 2  +  a  )  /  N           et    ( a )  =  mid  -  Z

 

    On se réfèrera principalement   au  zéro inférieur à  ( mid )  que j'ai précédemment noté  ( Z1 ).

 

          Les congruences précédentes équivalent à :

 

              Z 2  -  N . Z  +  (  N 2  -  D )  /  4    avec  D  =  ( x'' ) 2  =  ( N  -  x' ) 2    et  N  = x'  +  x''

                                                                                                                               x'  = 2 . Z1   et    x''  =  2 . a + 1

 

L'algorithme de Sturm permet de détecter l'existence de zéros, point où s'annule un polynôme

et cela en détectant des variations de signes au sein d'une suite de polynôme déduite de celle à étudier

par division polynômilale.

 

               Soit  le polynôme                 X 2  -  N . X  +  V  =  0     à étudier 

 

On comprend la valeur de ( V ) =  w -  k . N          

 par rapport aux lignes  précédentes et liée à la parité de ( mid ).

                                       

                      w  =  ( 3 . mid - 1 ) / 2      ou       w  =  5 . mid /  2

 

On établit selon Sturm:  

        

            P0  =  X 2  -  N . X  +  V  =  P1 . Q1  +  P2              par division  polynômiale

 

            P1  =  ( P0 ) '  =  2 . X  -  N        ...la dérivée

 

            P2  =  Constante  =  V  -  N 2  / 4        ...........égale à   N . ( 1/4 - k ) - 1   si  (mid) est impair

                                                                             ..........   ""     ""    N . ( 3 / 4  -  k ) - 1  si  ( mid )  est pair

 

D'où la Suite  de Sturm  :  {  P0  ,  P1  ,  P2 }

 

à étudier  entre :     2    et    (mid - 1) , 

 

 intervalle au sein duquel devrait se trouver le zéro  Z1.

 ( Rappel : On attent 1 seul zéro, (N) étant produit de 2 facteurs et que ce nombre de facteurs détermine

 le nombre de zéros:  2  (x - 1)  -  1     inférieurs à la valeur ( mid ).

 

       En    X = 2     P0    est  positif  =  4  -  2 . N  +  V      ..... V > 4 - 2 . N

                              P1    est  négatif   =  4 - N

                              P2    est  négatif    ...voir développement liéé  à parité

 

       En  X  = mid  - 1

                             P0      sera décisif   =  ( N - 3 ) /  4  -  N  . ( N  -  3  ) / 2  +  V  =  (  9  -  N 2 ) /  4  +  V 

                             P1     est négatif  =  2 . mid  -  2  - N  =  - 3

                             P2     est toujours négatif

 

L'algorithme de Sturm recherche des variation de signes entre les bornes d'un intervalle

et cela au sein de la Suite de Sturm à laquel il a donné naissance.

 

      On constate  qu'en      ( mid - 1 )  et  2

                                          P1  et  P2  sont stables et ne changent pas de signe.

      et que c'est   PO en ( mid  - 1 )   qui concluera: 

                                      -  Si existe un zéro,  alors  PO  sera négatif, créant alors une variation par rapport

                                          à  PO de ( 2 ). 

 

A  étudier          (  9  -  N 2 ) / 4   +  V   =  (  9  -  N 2  )  /  4  +  w  -  k . N           ( avec  donc   V  =  w  - k . N )

 

                                                                  = ( 3  +  mid  )  /  2  -  k . N           si  (mid)  est impair

 

                                                                  = (  4  +  3 . mid  )  /  2  -  k . N       si  (mid)  est  pair

 

On comprend que :

 

               Si  ( N )  est  un nombre Premier :     k  =  0   ....seul cas possible permettant

                                                                                                    PO ( mid - 1) Positif et donc sans variation par rapport

                                                                                                    à  PO ( 2 ).

 

         et  Si  ( N ) est  Composé    alors  ( k ) ≠ 0  existe permettant la variation de signe.

 

 

 

                                                                  FRANCILLETTE thierry jules      

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Published by matreadel - dans mathématiques
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