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17 mars 2010 3 17 /03 /mars /2010 16:28
   S'il est vrai que les "zéros" de Riemann font beaucoup parler d'eux dans le monde des nombres premiers
Je propose dans le texte suivant de s'intéresser à d'autres zéros qui semblent tout autant répondre aux
questions que l'on se pose sur la factorisation.
       Mise en évidence des facteurs premiers d'un nombre composé.

On supposera celle des nombres composés impairs.

   A partir de l'expression des résidus quadratiques      X^2  ≡  1  [ N ]              (A)
(  le carré de (X) est congru à (1) modulo (N))
                                                                                      (1) est résidu quadratique de (N) si (X) existe.

Nous choisissons l'écriture    X^2  -  1  ≡  0   [  N  ]                                                (B)
que nous généralisons:
                                                      X^2  -  1  ≡  r    [  N  ]                                                (C)

En étudiant la structure des restes (r) successifs
lorsque  (X)  varie  de  :  1  =>  (N-1)

    On constate qu'il suffira  de faire varier (X)  de  2  à   ( N  -  1 ) / 2  =  mid ....;(comme midle)

Puisqu'existe une symétrie au sein de la distribution des restes autour de
    (mid) et (mid + 1)   ayant même reste selon (C).

De plus, l'objectif de la recherche étant les "zéros" de "thierry"
il apparait trivial leur obtentention avec (X)  =  {1, (N-1)}

     Par l'observation expérimentale on peut rapidement conclure que:

-  Si  (N) est un nombre premier............ Factoriel de (N-1)/2  =  ( ( N - 1 ) / 2 ) !
                                                            n'est pas CONGRU  à  (0) modulo (N).
                                                   (N) ne divise pas cette valeur factorielle.

-  Si (N) est un composé.........alors (N) divise cette valeur.

Ce qui équivaut à un test de primalité, puisqu'il suffit de tester le calcul factoriel
             de (mid - 1) :          ( ( N - 3 ) / 2 ) !
déduisible par ailleurs du test de primalité de Wilson, car si (N-1)! n'est pas divisible,
alors ((N-1)/2)! ne l'est pas non plus;

     Cela se traduira au niveau de la distribution des restes selon (C) par l'existence de valeurs (X)
pour lesquelles (B) est vrai. (r = 0)

Le nombre de "ZEROS" , c'est à dire de (X) vérifiant cela entre 2 et (mid) sera :

                                             2 (a-1)  -  1

avec  (a)  =  nombre de facteurs de (N)
   
Dans le cas classique  N  =  P1  .  P2   ........a=2  et donc  il n'y aura qu'un "ZERO" dans l'intervalle.

Lorsque le nombre est premier, il n'y en a donc aucun.

Lorsque le nombre composé possède plus de deux facteurs, tous les arrangements possibles de ces facteurs en
deux facteurs ( composés ou non ) virtuels "X1" et "X2" se répartiront autour des "ZEROS".

De manière générale,
              il y  a  (2a)  "ZEROS"  entre 1 et (N-1) :  nombre de parties du nombre de facteur.

FACTORISER.........équivaudra à rechercher ces "ZEROS" lorsque le nombre est composé.

En effet,
                il est plus facile de trouver un nombre ayant un facteur commun avec celui que l'on souhaite
factoriser plutôt que de le factoriser directement.
L'algorithme d'Euclide sera, alors, plus facile à mettre en oeuvre.

Car,
         autour des "ZEROS", avec   X = un "zéro" = Z
         c'est à dire autour des "Z", notamment ( Z1 < mid  et son symétrique  Z2 > (mid + 1)  dans le cas classique
de (N) produit de 2 nombres premiers ),
            existera  ( Z + 1 )  et  ( Z - 1 ) 

tel que :
                                GCD  ( N , Z + 1 )  >1    et   GCD ( N , Z - 1 ) >1

de plus                  ( Z + 1) . ( Z - 1) ≡ 0  [ N ]

Il ne restera plus qu'à partir à la recherche de valeurs particulières
telles les suivantes :
                                             (a)  =  mid  -  Z1

                  N  =  Z1  + Z2  =  x'  +  x''     avec    x'  =  2 . Z1       et  x''  =  2 . (a) + 1

Mais aussi à la recherche de couples de (X) compris entre 2 et (mid) ayant même reste selon (C)
et tel que  :
                               GCD ( N , Xa  -  Xb )  > 1      si  couple ( Xa , Xb )

En effet,
                les restes entre 2 et mid, existent en doubles ou en simples exemplaires
permettant d'écrire :
                                       mid  =  NRS  +  NRD    avec NRS = nombre de résidus simples
                                                                                                    =  ( S - 2 ) / 2      avec  S  =  P1 + P2
                                                                                          NRD = nombre de résidus en double
                                                                                           NRD  =  FI(N) / 2
                                                                                           FI(N) = fonction indicatrice de (N)

il faut remarquer que si (N) est un nombre premier :      mid  =  NRS =  FI / 2 = ( P - 1 ) / 2
                                             
               
                                                           FRANCILLETTE thierry jules

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Published by matreadel - dans mathématiques
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